Абстрактните картини, съставени от цветни правоъгълници, на холандския художник Пийт Мондриан са вдъхновили математиците да създадат задача.
Първо, трябва да се запълни квадратно платно с непокриващи се правоъгълници, чиито съотношения на страните са уникални.
Така че ако вече има 1x4, не може да се използва 4x1 на друго място, но може да се използва правоъгълник 2x2.
Нека да опитаме. Например имаме поле 4х4. Не можем да го разделим точно на две, защото ще получим два еднакви правоъгълника 2х4. Тогава решението ще бъде 3х4 и 1х4 правоъгълника.
Това е лесно, но все още не сме приключили.
Целта е разликата между площта на по-големия правоъгълник и най-малкия да е възможно най-малка.
В случая най-голямата площ е 12, а най-малката площ е 4, така че получаваме разлика от 8.
Тъй като не се опитахме да намерим най-малката разлика първия път, нека продължим да я търсим. Нека оставим правоъгълника 1х4 и да разделим нашия 3х4 на 3х3 и 3х1. Сега разликата е 9 минус 3, или 6. Все още не е достатъчно малко, но е по-добре.
На толкова малко платно няма много решения. Но нека да видим какво ще стане, ако вземем по-голямо платно. Да опитаме с платно с размери 8х8, каква е минималната разлика, която може да се получи?
Ако искате, опитайте сами да решите задачата. Да си припомним правилата:
1. Платното трябва да бъде изцяло покрито с незастъпващи се правоъгълници.
2. Всички дължини на ръбовете на правоъгълника трябва да бъдат цели числа.
3. Няма два правоъгълника с еднакви размери, така че правоъгълник 3x2 и 2x3 не са разрешени.
4. Вашият резултат е разликата между площта на най-големия правоъгълник и площта на най-малкия.
5. Опитайте се да направите резултата си възможно най-малък.
За да решим задачата, можем да започнем както преди, като разделим платното приблизително на две части. Така ще получим правоъгълник 5х8 с площ 40 и правоъгълник 3х8 с площ 24, а разликата между тях е 16. Това е доста зле.
Деленето на 5x8 на 5x5 и 5x3 ни дава разлика от 10. Това вече е по-добре, но все още не е идеално.
Можем да продължим да делим най-големия правоъгълник. Но тогава ще получим малки правоъгълници, което ще увеличи разликата между най-големия и най-малкия.
Това, от което се нуждаем, е най-малката разлика в площта на правоъгълниците. И тъй като общата площ на платното е 64, сумата от площите трябва да е 64. Нека направим списък на възможните правоъгълници и площи.
За да подобрим предишния си резултат, можем да изберем диапазон от стойности от 9 или по-малко и сумата от площите да е 64. Ще забележите, че някои стойности липсват, защото правоъгълници като 1х13 или 2х9 не се побират на платното. Може също така да забележите, че като използвате правоъгълник с нечетна площ 5, 9 или 15, ще трябва да вземете правоъгълник с нечетна площ, за да получите четна сума. Имайки предвид това, нека видим какво ще получим.
Ако започнем с площ от 20 или повече, това ще ни изведе твърде бързо извън границите. Но можем да получим 64, като използваме правоъгълници с площ между 14 и 18, пропускайки 15. За съжаление няма как да ги разположим върху платното. Използвайки 2х7, получаваме празнина, която може да бъде запълнена само с правоъгълник с ширина 1.
Придвижвайки се надолу, получаваме следващия диапазон от 8 до 14, като пропускаме квадрата 3х3. Този път парчетата пасват.
Получаваме разлика от 6. можем ли да получим по-добър резултат? Не. можем да получим същия резултат, като се откажем от 2х7 и 1х8 и ги заменим с 3х3, 1х7 и 1х6. Но ако продължим по-надолу в списъка, числата стават твърде малки, така че ще е необходим по-голям диапазон, за да се покрие платното, а това ще увеличи разликата.
Тук няма никакъв трик или формула - само малко интуиция.
Това е повече изкуство, отколкото наука.
И за по-голяма решетка специалистите не са сигурни дали са открили най-малката възможна разлика.
